一元二次方程不僅是學生們邁向更高數學思維的重要橋梁，更是培養邏輯推理能力的關鍵環節。通過精心設計的教學視頻，教師可以將復雜的概念以生動形象的方式呈現，使學生在探索方程根的過程中，體會到數學的魅力與實用性。掌握一元二次方程的解法，不僅幫助學生應對考試挑戰，更為他們未來的學習打下堅實基礎。

一、內容與內容解析

（一）內容

一元二次方程的含義，以及它的一般形式。

（二）內容解析

一元二次方程是基于一元一次方程的“次”的擴展，這不僅滿足解決多種實際問題的需求，還為學生提供了運用勾股定理、相似形等知識的工具，是二次函數學習的重要基礎。

通過對多種實際問題的探討，引導學生去觀察這些方程所展現的共性，從而總結出一元二次方程的定義及其標準形式。在這一過程中，學生能夠通過歸納來識別具體方程的共同特點，進而形成一元二次方程的概念，反映了代數學的研究方法；而一元二次方程的一般形式ax2 + bx + c = 0也是基于“元”（未知數的數量）、“次數”和“項數”等維度進行歸納的結果；其中a ≠ 0的條件則確保了方程為“二次”，為理解一元二次方程的含義提供了有力的支持。

二、目標與目標解析

（一）教學目標

1. 感知一元二次方程作為表達實際問題的重要數學模型，初步掌握其概念；

2. 理解一元二次方程的一般形式，能夠將一元二次方程轉化為一般形式。

（二）目標解析

1. 通過構建一元方程來解決相關的實際問題，讓學生知道未知數的相乘會導致方程次數的提升，從而引入一元二次方程。學生能舉例說明一元二次方程存在的實際背景，體會到一元二次方程作為數學模型的重要性，增強學習的必要性；

2. 將不同形式的一元二次方程整合為一般形式，幫助學生從數學符號的角度理解模型的簡約和必要性，通過對“二次”條件a ≠ 0的詳細說明，進一步明確一元二次方程的概念。學生能夠將一元二次方程整理成標準形式，準確識別方程中的各個系數，并能判斷簡單符號系數方程是否為一元二次方程。

三、教學問題診斷分析

一元二次方程是學生在學習中接觸的第四類方程知識，首先在初一學習了一元一次方程，然后擴展到二元及三元一次方程，接下來學習了二元一次方程組，初二的分式教學使學生對實際問題的表述從整式延伸到有理式，分式方程的出現則是第一次接觸“次”的提升。學生可能會對為何某些背景情境下的方程是二次的產生疑問。在教學過程中，需直面學生的疑問，引導他們自我解釋，這樣才能避免單純的“灌輸”，凸顯知識存在的必要性，增強他們的學習信心。

培養建模思維，提高數學符號的運用能力，使學生自主總結一元二次方程的概念及其一般形式，對初三學生而言尤為重要。

本節的教學重點應放在一元二次方程概念的形成過程上，而不是草率地給出定義后進行重復練習，需在概念理解上深入探討。

本節的教學難點是理解一元二次方程的定義。

四、教學過程設計

（一）創設情境，引入新知

教師展示教科書章節前的插圖，要求學生閱讀章前問題并回答：

問題1. 這個方程屬于我們學過的某一類方程嗎？

師生活動：學生整理已學過的方程類型，復習方程的概念，及“元”與“次”的定義，觀察新方程，分析此方程的“元”與“次”，嘗試為新方程命名。

【設計意圖】幫助學生意識到一元二次方程是描述某些實際問題的數學模型，以增強學習的積極性，并在已有知識框架中合理構建新知識。

問題2. 這樣的方程在其他實際問題中是否還存在？你能再舉一個例子嗎？

師生活動：學生思考二次項產生的原因，可能通過矩形面積的實例設計情境。

【設計意圖】鼓勵學生主動探求一元二次方程產生的根源，提升他們對該概念的理解。部分學生能夠獨立構造問題并列出方程，另一些學生則可以運用同學提供的情境進行方程的列出，或閱讀課本中的實際問題。

（二）拓寬情境，概括概念

給出課本中的兩個實際問題，要求學生設未知數，建立方程。

問題1. 如圖21.1-1，有一塊矩形鐵皮，長100 cm，寬50 cm。在其四個角上各切去一個相同的正方形，然后將四周突出的部分折起，制作一個無蓋方盒。如果要制作的無蓋方盒的底面積為3600 cm2，那么鐵皮的各角應切去多大的正方形？

個隊參賽，則每個隊要與其他____個隊各進行一場比賽，全部比賽共有___場。

由此，我們可以列出方程______________，化簡得________________。

問題3. 這些方程是幾元幾次方程？

師生活動：學生將實際問題轉化為數學符號，體會數值之間運算關系，尋找等量關系，學習建模。將所列方程化簡整理，判斷出方程的次數。

【設計意圖】在建模過程中，不僅提升學生的數學思維能力，也使他們更加清晰地理解二次項的產生，加深對一元二次方程的理解。讓學生回答方程的“元”與“次”，旨在幫助他們體會將方程統一為一般形式的必要性，并為理解概念打基礎，減輕教學難度。

問題4. 這些方程是什么方程？

師生活動：觀察課堂上總結的一些方程，思考它們的共性，同學們嘗試給出一元二次方程的定義，并概括出一元二次方程的一般形式。

1. 一元二次方程的定義：

等號兩邊均為整式，只含有一個未知數，且未知數的最高次數為二次的方程稱為一元二次方程。

2. 一元二次方程的一般形式是

其中a為二次項系數;

激發學生的思維，鼓勵從不同的角度和形式更深入地理解同一概念，使不同的學生在這一過程中各自獲得不同的收獲，實現分層教學的效果。

問題6. 下列方程中哪一個是一元二次方程？

例1. 下列方程中哪些是一元二次方程？

(1)

;

(3)

;

(5)

.

答案(2)(5)(6).

師生活動：應用概念進行辨析，方程(3)和(4)的差異可能引發爭議，(3)幫助學生明確一元二次方程是整式方程，(4)讓學生體會概括為一般形式的必要性，加深對a≠0條件的理解。

【設計意圖】補充學生所列正反例中的不足，追問：有二次項的方程就一定是一元二次方程嗎？幫助學生鞏固概念，深化對一元和二次的理解。

問題7. 請指出下列方程的二次項、一次項和常數項及其系數。

例2. 將下列方程轉化為一般形式，并指出其二次項、一次項及常數項和系數：

(1)

師生活動：將方程

移項，合并同類項得到：

，其中二次項系數為3；一次項為

，常數項為

，過程略。

例3. 關于x的方程

時此為一元二次方程；

時此為一元一次方程。

【設計意圖】在面對形式較復雜的方程時，通過辨析方程的元、次、項來把握方程的本質，深化理解，減少對一元二次方程概念的死記。

（四）鞏固概念，學以致用

教科書第4頁： 練習

【設計意圖】通過鞏固性練習，檢驗學生對一元二次方程概念的掌握情況。

（五）歸納反思提升

請學生總結今天的課程內容，比較之前所學的其他方程，談談對一元二次方程的認識，并反思學習過程中的常見錯誤。

（六）布置作業：教科書習題21.1

復習鞏固：第1，2，3題。

五、目標檢測設計

1. 下列方程中哪些是有關x的一元二次方程：

(1)

;

(3)

.

【設計意圖】考查學生對一元二次方程概念的理解。

2. 關于

是一元二次方程，則( ).

A.

C.

【設計意圖】考查

的一元二次方程。